Question

【題目】已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， Sn=an2+ an ， n∈N*
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足：b1=1，bn﹣bn﹣1=2an（n≥2），求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn
（3）若Tn≤λ（n+4）對(duì)任意n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=an2+ an，

∴Sn+1=an+12+ an+1，

兩式相減得：an+1= ﹣ + （an+1﹣an），

∴（an+1+an）（an+1﹣an﹣ ）=0，

∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，

∴an+1﹣an= ，

又∵a1= + a1，

∴a1= ，

∴數(shù)列{an}是以 為首項(xiàng)、 為公差的等差數(shù)列，

∴an= +（n﹣1） =

（2）解：∵an= ，

∴bn﹣bn﹣1=2an=2 =n，

∴b2﹣b1=2，

b3﹣b2=3，

…

bn﹣bn﹣1=n，

累加得：bn﹣b1= ，

又∵b1=1，

∴bn=b1+ =1+ = ，

∴ = =2（ ﹣ ），

∴

（3）解：∵Tn= ，

∴Tn≤λ（n+4），

∴λ≥ = = ，

∵n+ ≥2 =4當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào)，

∴當(dāng)n=2時(shí) 有最大值 ，

∴

【解析】（1）通過(guò)Sn=an2+ an、Sn+1=an+12+ an+1 ， 作差、分析可得an+1﹣an= ，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）通過(guò)an= ，可得bn﹣bn﹣1=n，累加即得：bn﹣b1= ，從而可得bn= ，裂項(xiàng)可得 =2（ ﹣ ），并項(xiàng)相加即得結(jié)論；（3）通過(guò)Tn= 、Tn≤λ（n+4），整理可得λ≥ ，利用基本不等式即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式)．