【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,對(duì)幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過(guò)卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對(duì)這一偉大科學(xué)家的了解程度,某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生,請(qǐng)他們列舉阿基米德的成就,把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”,少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下:
0項(xiàng) | 1項(xiàng) | 2項(xiàng) | 3項(xiàng) | 4項(xiàng) | 5項(xiàng) | 5項(xiàng)以上 | |
理科生(人) | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生(人) | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
(1)完成如下列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為,了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)?
比較了解 | 不太了解 | 合計(jì) | |
理科生 | |||
文科生 | |||
合計(jì) |
(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.
(i)求抽取的文科生和理科生的人數(shù);
(ii)從10人的樣本中隨機(jī)抽取3人,用表示這3人中文科生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) (i)文科生3人,理科生7人 (ii)見(jiàn)解析
【解析】
(1)寫(xiě)出列聯(lián)表后可計(jì)算,根據(jù)預(yù)測(cè)值表可得沒(méi)有的把握認(rèn)為,了解阿基米德與選擇文理科有關(guān).
(2)(i)文科生與理科生的比為,據(jù)此可計(jì)算出文科生和理科生的人數(shù).
(ii)利用超幾何分布可計(jì)算的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
解:(1)依題意填寫(xiě)列聯(lián)表如下:
比較了解 | 不太了解 | 合計(jì) | |
理科生 | 42 | 28 | 70 |
文科生 | 12 | 18 | 30 |
合計(jì) | 54 | 46 | 100 |
計(jì)算,
沒(méi)有的把握認(rèn)為,了解阿基米德與選擇文理科有關(guān).
(2)(i)抽取的文科生人數(shù)是(人),理科生人數(shù)是(人).
(ii)的可能取值為0,1,2,3,
則,
,
,
.
其分布列為
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某體育用品商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為40元的運(yùn)動(dòng)服,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)符合一次函數(shù)模型,且銷售單價(jià)為60元時(shí),銷量是600件;當(dāng)銷售單價(jià)為64元時(shí),銷量是560件.
(1)寫(xiě)出銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)試求銷售利潤(rùn)z(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(1)(2)條件下,當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),商場(chǎng)能獲得最大利潤(rùn)?并求出此最大利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是的極大值點(diǎn),求的值;
(2)若在上只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,為正三角形,為線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,求直線與平面所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)令,若函數(shù)在(0,)內(nèi)有極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn).
(1)求拋物線的方程及的值;
(2)若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,證明:存在實(shí)數(shù),使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,半徑為2的圓內(nèi)有兩條圓弧,一質(zhì)點(diǎn)M自點(diǎn)A開(kāi)始沿弧A-B-C-O-A-D-C做勻速運(yùn)動(dòng),則其在水平方向(向右為正)的速度的圖像大致為( )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合.對(duì)于的一個(gè)子集,若存在不大于的正整數(shù),使得對(duì)于中的任意一對(duì)元素,都有,則稱具有性質(zhì).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),試判斷集合和是否具有性質(zhì)?并說(shuō)明理由.
(Ⅱ)若時(shí),
①若集合具有性質(zhì),那么集合是否一定具有性質(zhì)?并說(shuō)明理由;
②若集合具有性質(zhì),求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.
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