【題目】如圖,在四棱錐中,為正三角形,為線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,求直線與平面所成的角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)取的中點(diǎn),根據(jù)中位線可得,在根據(jù)垂直關(guān)系可證得;根據(jù)面面平行的判定定理可證得平面;利用面面平行性質(zhì)定理證得結(jié)論;(Ⅱ)根據(jù)線面垂直判定定理可證得平面,從而可以以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.
(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn),連接,如圖所示:
分別為中點(diǎn)
為等邊三角形
又
又 平面平面
又平面 平面
(Ⅱ)為正三角形,,
,
連接,,則為的中點(diǎn)
,
又,
又 平面
以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為,軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
則,,,,
,,
設(shè)平面的法向量為
,令,則,
設(shè)直線與平面所成角為
則直線與平面所成角的正弦值為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且.
(1)求的值;
(2)畫出圖像,并寫出單調(diào)遞增區(qū)間(不需要說明理由);
(3)若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量(單位:千克)與銷售價格(單位:元/千克)滿足,其中,為常數(shù).已知銷售價格為7元/千克時,每日可售出該商品11千克.
(1)求的值;
(2)若該商品成本為5元/千克,試確定銷售價格值,使商場每日銷售該商品所獲利潤最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動,使得二面角的平面角與二面角的平面角互余,則點(diǎn)的軌跡是( )
A. 一段圓弧 B. 橢圓的一部分 C. 拋物線 D. 雙曲線的一支
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有兩臺不同機(jī)器A和B生產(chǎn)同一種產(chǎn)品各10萬件,現(xiàn)從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取二十件,進(jìn)行品質(zhì)鑒定,鑒定成績的莖葉圖如下所示:
該產(chǎn)品的質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:鑒定成績達(dá)到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為優(yōu)秀;鑒定成績達(dá)到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為良好;鑒定成績達(dá)到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為合格.將這組數(shù)據(jù)的頻率視為整批產(chǎn)品的概率.
(1)從等級為優(yōu)秀的樣本中隨機(jī)抽取兩件,記為來自B機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量,寫出的分布列,并求的數(shù)學(xué)期望;
(2)完成下列列聯(lián)表,以產(chǎn)品等級是否達(dá)到良好以上(含良好)為判斷依據(jù),判斷能不能在誤差不超過0.05的情況下,認(rèn)為B機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品比A機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品好;
A生產(chǎn)的產(chǎn)品 | B生產(chǎn)的產(chǎn)品 | 合計 | |
良好以上(含良好) | |||
合格 | |||
合計 |
(3)已知優(yōu)秀等級產(chǎn)品的利潤為12元/件,良好等級產(chǎn)品的利潤為10元/件,合格等級產(chǎn)品的利潤為5元/件,A機(jī)器每生產(chǎn)10萬件的成本為20萬元,B機(jī)器每生產(chǎn)10萬件的成本為30萬元;該工廠決定:按樣本數(shù)據(jù)測算,兩種機(jī)器分別生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品,若收益之差達(dá)到5萬元以上,則淘汰收益低的機(jī)器,若收益之差不超過5萬元,則仍然保留原來的兩臺機(jī)器.你認(rèn)為該工廠會仍然保留原來的兩臺機(jī)器嗎?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,對幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對這一偉大科學(xué)家的了解程度,某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生,請他們列舉阿基米德的成就,把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”,少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下:
0項(xiàng) | 1項(xiàng) | 2項(xiàng) | 3項(xiàng) | 4項(xiàng) | 5項(xiàng) | 5項(xiàng)以上 | |
理科生(人) | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生(人) | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
(1)完成如下列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為,了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)?
比較了解 | 不太了解 | 合計 | |
理科生 | |||
文科生 | |||
合計 |
(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.
(i)求抽取的文科生和理科生的人數(shù);
(ii)從10人的樣本中隨機(jī)抽取3人,用表示這3人中文科生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年2月9-25日,第23屆冬奧會在韓國平昌舉行.4年后,第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會,某大學(xué)在平昌冬奧會開幕后的第二天,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了120名學(xué)生,對是否收看平昌冬奧會開幕式情況進(jìn)行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
(Ⅰ)根據(jù)上表說明,能否有的把握認(rèn)為,收看開幕式與性別有關(guān)?
(Ⅱ)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了開幕式的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取12人參加2022年北京冬奧會志愿者宣傳活動.
(ⅰ)問男、女學(xué)生各選取了多少人?
(ⅱ)若從這12人中隨機(jī)選取3人到校廣播站開展冬奧會及冰雪項(xiàng)目的宣傳介紹,設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為,寫出的分布列,并求.
收看 | 沒收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的長軸長為,且橢圓與圓: 的公共弦長為.
(1)求橢圓的方程.
(2)經(jīng)過原點(diǎn)作直線(不與坐標(biāo)軸重合)交橢圓于, 兩點(diǎn), 軸于點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且,求證: , , 三點(diǎn)共線..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖1所示,在邊長為12的正方形,中,,且,分別交于點(diǎn),將該正方形沿,折疊,使得與重合,構(gòu)成如圖2 所示的三棱柱,在該三棱柱底邊上有一點(diǎn),滿足; 請在圖2 中解決下列問題:
(I)求證:當(dāng)時,//平面;
(Ⅱ)若直線與平面所成角的正弦值為,求的值.
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