Question

已知x，y∈R⁺且x+y=4，求

1

x

+

2

y

的最小值．某學(xué)生給出如下解法：由x+y=4得，4≥2

xy

①，即

1

xy

≥

1

2

②，又因?yàn)?span id="uomq6ym" class="MathJye">

1

x

+

2

y

≥2

2 xy

③，由②③得

1

x

+

2

y

≥

2

④，即所求最小值為

2

⑤．請(qǐng)指出這位同學(xué)錯(cuò)誤的原因

 

．

Answer 1

分析：在題中所給的解法中，解答過(guò)程中兩次利用基本不等式，兩次的等號(hào)不能同時(shí)取得，結(jié)果取不到等號(hào)．由此得到正確的解法，已知條件是一個(gè)整式等式，求得式子是分式形式，將分式乘以整式再展開，利用基本不等式求出最值，注意等號(hào)是否能取到．

解答：解：②中x=y時(shí)取等號(hào)；�、壑�

1

x

=

2

y

即y=2x時(shí)取等號(hào)
而②③的等號(hào)同時(shí)成立是不可能的．
故答案為：兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)取到．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要注意需要考慮的條件：一正；二定；三相等．