Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{x-a}{x}$．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），
（Ⅲ）比較：（$\frac{100}{99}$）¹⁰⁰，e的大小關(guān)系，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題等價于ln（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$，令t=x+1，則x=t-1，由x＞0得t＞1，問題等價于：lnt＞$\frac{t-1}{t}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
（Ⅲ）根據(jù)$\frac{ln（x+1）}{x}$＜1，令x=$\frac{1}{100}$，得到（1+$\frac{1}{x}$）ln（x+1）＞1，判斷大小即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），因為f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，由f'（x）＜0得0＜x＜a，由f'（x）＞0得x＞a，
所以函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）證明：①因為x＞0，x＜（x+l）ln（x+1）等價于ln（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$，
令t=x+1，則x=t-1，由x＞0得t＞1，
所以不等式ln（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$（x＞0）等價于：lnt＞$\frac{t-1}{t}$，
即：lnt-$\frac{t-1}{t}$＞0（t＞1），
由（Ⅰ）得：函數(shù)g（t）=lnt-$\frac{t-1}{t}$在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（t）＞g（1）=0，即：ln（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$；
②因為x＞0，不等式 x＜（x+l）ln（x+1）等價于ln（x+1）＜x，
令h（x）=ln（x+1）-x，則h′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=$\frac{-x}{x+1}$，所以h'（x）＜0，
所以函數(shù)h（x）=ln（x+1）-x在（0，+∞）上為減函數(shù)，
所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．
由①②得：x＞0時，x＜（x+l）ln（x+1）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0時，$\frac{ln（x+1）}{x}$＜1，
所以令x=$\frac{1}{100}$，得100×ln（$\frac{1}{100}$+1）＜1，即ln（$\frac{101}{100}$）¹⁰⁰＜1，
所以（$\frac{101}{100}$）¹⁰⁰＜e；
又因為$\frac{ln（x+1）}{x}$＞$\frac{1}{x+1}$（x＞0），所以（1+$\frac{1}{x}$）ln（x+1）＞1，
令x=$\frac{1}{99}$得：100×ln$\frac{100}{99}$＞1，所以ln（$\frac{100}{99}$）¹⁰⁰＞1，從而得（$\frac{100}{99}$）¹⁰⁰＞e．
所以（ $\frac{101}{100}$）¹⁰⁰＜（$\frac{100}{99}$）¹⁰⁰．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．