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已知函數f（x）=x|x+2|-2x-1
（1）用分段函數的形式表示該函數；     
（2）畫出該函數的圖象；
（3）求不等式f（x）＞0的解集．
分析：（1）由f（x）=x|x+2|-2x-1，知當x≥-2時，f（x）=x（x+2）-2x-1=x2-1，當x＜-2時，f（x）=x（-x-2）-2x-1=-x2-4x-1，由此能求出f（x）．．
（2）由f（x）=
x2-1，x≥-2
-x2-4x-1，x＜-2
，知x=-2時，y=3；x=0時，y=-1；x=±1時，y=1．由此利用拋物線的對稱性能求出f（x）的圖象．
（3）由x2-1=0，得x=±1；由-x2-4x-1=0，得x=-2±
3
．結合圖象，能求出不等式f（x）＞0的解集．
解答：解：（1）∵f（x）=x|x+2|-2x-1，
∴當x≥-2時，f（x）=x（x+2）-2x-1=x2-1，
當x＜-2時，f（x）=x（-x-2）-2x-1=-x2-4x-1，
∴f（x）=
x2-1，x≥-2
-x2-4x-1，x＜-2
．
（2）由f（x）=
x2-1，x≥-2
-x2-4x-1，x＜-2
，
知x=-2時，y=3；x=0時，y=-1；x=±1時，y=1．
由此利用拋物線的對稱性能求出f（x）的圖象．

（3）由x2-1=0，得x=±1；
由-x2-4x-1=0，得x=-2±
3
．
∴結合圖象，知不等式f（x）＞0的解集為（-2-
3
，-1）∪（1，+∞）．
點評：本題考查函數解析式的求法，考查函數圖象的作法，考查不等式的解法．解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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