Question

3．已知函數(shù)f（x）=|lnx|，$g（x）=\left\{\begin{array}{l}0\\|{{x^2}-4}|-2\end{array}\right.$$\begin{array}{l}（{0＜x≤1}）\\（{x＞1}）\end{array}$則方程|f（x）+g（x）|=1實(shí)根的個數(shù)為（　　）

• A． 2個
• B． 4個
• C． 6個
• D． 8個

Answer 1

分析 對x分類討論：當(dāng)0＜x≤1時，顯然可知有一實(shí)根$\frac{1}{e}$；當(dāng)x＞1時，方程可化為|x²-4|=1-lnx或|x²-4|=3-lnx，構(gòu)造函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，把方程問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想判斷即可得到答案．

解答 解：當(dāng)0＜x≤1時，
f（x）=-lnx，g（x）=0，
∴|f（x）+g（x）|=|-lnx|=1有一實(shí)根$\frac{1}{e}$；
當(dāng)x＞1時，
f（x）=lnx，g（x）=|x²-4|-2，
∴|f（x）+g（x）|=|lnx+g（x）|=1，
∴|x²-4|=1-lnx或|x²-4|=3-lnx，
分別畫出函數(shù)的圖象如圖：
由圖可知共有3個交點(diǎn)，
故實(shí)根的個數(shù)為4個，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查根的存在性與根的個數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是關(guān)鍵，是中檔題．