Question

14．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足$f（x）=\left\{\begin{array}{l}cosx\;，\;\;sinx≤cosx\\ sinx\;，\;\;sinx＞cosx\end{array}\right.$，給出以下結(jié)論：
①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）的最小值為-1；
③當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）取得最小值；
④當(dāng)且僅當(dāng)$2kπ-\frac{π}{2}＜x＜（{2k+1}）π$，k∈Z時(shí)，f（x）＞0；
⑤f（x）的圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離是2π，
其中正確的結(jié)論序號(hào)是①④⑤．

Answer 1

分析 f（x）的含義是取y=sinx和y=cosx的較大者，所以先在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y=sinx和y=cosx的圖象，然后取上方的部分，就得到f（x）的圖象．畫(huà)出圖象來(lái)之后，就很容易的找出單調(diào)區(qū)間，最大最小值，同時(shí)也容易得出周期來(lái)．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象，實(shí)線即為f（x）的圖象．
由圖象可知，f（x）為周期函數(shù)，T=2π，所以①正確．
函數(shù)f（x）的最大值為1，最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以②錯(cuò)誤．
當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+$\frac{5}{4}π$，k∈Z時(shí)，f（x）取得最小值，所以③錯(cuò)誤；
④當(dāng)且僅當(dāng)$2kπ-\frac{π}{2}＜x＜（{2k+1}）π$，k∈Z時(shí)，f（x）＞0，正確；
⑤f（x）的圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離是2π，正確，
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想去研究，是解決本題的關(guān)鍵．