Question

求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）一條準線方程為y=

9

2

，離心率為

2

3

；
（2）與橢圓

x2

16

+

y2

15

=1有相同的焦點，且經(jīng)過點(1，

3

2

)；
（3）經(jīng)過A(4，

12

5

)，B(-3，-

16

5

)兩點．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設橢圓的標準方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，a＞b＞0，且

a2 c = 9 2 c a = 2 3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）設與橢圓

x2

16

+

y2

15

=1有相同的焦點的橢圓為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，a＞0，把（1，

3

2

）代入，能求出橢圓方程．
（3）設所求的橢圓方程為mx²+ny²=1，m＞0，n＞0，m≠n．把A(4，

12

5

)，B(-3，-

16

5

)兩點代入，能求出橢圓方程．

解答： 解：（1）∵橢圓的一條準線方程為y=

9

2

，離心率為

2

3

，
∴設橢圓的標準方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，a＞b＞0，
且

a2 c = 9 2 c a = 2 3 a2=b2+c2

，
解得a=3，b=

5

，
∴橢圓的標準方程為

y2

9

+

x2

5

=1．
（2）∵橢圓

x2

16

+

y2

15

=1的焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴設與橢圓

x2

16

+

y2

15

=1有相同的焦點的橢圓為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，a＞0，
把（1，

3

2

）代入，得：

1

a2

+

9 4

a2-1

=1，
解得a²=4或a²=

1

4

（舍），
∴所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（3）設所求的橢圓方程為mx²+ny²=1，m＞0，n＞0，m≠n．
把A(4，

12

5

)，B(-3，-

16

5

)兩點代入，得：

16m+ 144 25 n=1 9m+ 256 25 n=1

，
解得m=

1

25

，n=

1

16

，
∴橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．