Question

1．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ=4sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）先把半圓C的極坐標方程化為直角坐標方程，再化為參數(shù)方程；
（2）已知直線l：y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+6，點P在半圓C上，且點P到直線l的距離為半圓C上的點到直線l的距離的最小值，根據(jù)（1）中得到的參數(shù)方程，確定點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由ρ=4sinθ得ρ²=4ρsinθ，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把極坐標方程化為直角坐標方程．進而得到半圓C的參數(shù)方程．
（2）作直線l的平行線l'，當直線l'與半圓C相切時，切點即為P，由（1）知半圓C的圓心為C（0，2），則CP⊥l，可得k_CP=$\sqrt{3}$，即可得出．

解答 解：（1）由ρ=4sinθ得ρ²=4ρsinθ，可得半圓C的直角坐標方程為x²+y²-4y=0，即x²+（y-2）²=4，0≤x≤2．
∴半圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosϕ}\\{y=2+2sinϕ}\end{array}}\right.（ϕ為參數(shù)，-\frac{π}{2}≤ϕ≤\frac{π}{2}）$．
（2）作直線l的平行線l'，當直線l'與半圓C相切時，切點即為P，
由（1）知半圓C的圓心為C（0，2），則CP⊥l，
因此${k_{CP}}=\frac{2+2sinϕ-2}{2cosϕ-0}=tanϕ=\sqrt{3}$，
解得$ϕ=\frac{π}{3}$，
∴點$P（1，2+\sqrt{3}）$．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、三角函數(shù)基本關(guān)系式、直線與圓相切的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線與圓相切的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．