Question

11．函數(shù)f（x）=（x²-ax+2a）ln（x+1）的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-$\frac{1}{3}$，0）．

Answer 1

分析 討論當(dāng)x＞0，和x＜0時(shí)，函數(shù)g（x）=x²-ax+2a的取值情況，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），設(shè)g（x）=x²-ax+2a，
若-1＜x＜0，ln（x+1）＜0，此時(shí)要求g（x）在-1＜x＜0經(jīng)過(guò)二、三，
即此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=2a＜0}\\{g（-1）=1+a+2a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a＞-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，此時(shí)-$\frac{1}{3}$＜a＜0，
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，此時(shí)函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，
當(dāng)x＞0時(shí)，ln（x+1）＞0，此時(shí)要求g（x）經(jīng)過(guò)一四象限，
即x＞0時(shí)，x²-ax+2a＜0，有解，
即a（x-2）＜x²有解，
當(dāng)x=2時(shí)，不等式等價(jià)為0＜4，成立，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，a＞$\frac{{x}^{2}}{x-2}$，∵此時(shí)$\frac{{x}^{2}}{x-2}$＜0，∴此時(shí)a＜0，
當(dāng)x＞2時(shí)，不等式等價(jià)為a＜$\frac{{x}^{2}}{x-2}$，
∵$\frac{{x}^{2}}{x-2}$=$\frac{（x-2）^{2}+4（x-2）+4}{x-2}$=（x-2）+$\frac{4}{x-2}$+4
≥4+2$\sqrt{（x-2）•\frac{4}{x-2}}$=4+2×2=4+4=8，
∴若a＜$\frac{{x}^{2}}{x-2}$有解，則a＞8，
即當(dāng)x＞0時(shí)，a＜0或a＞8，
綜上{a|-$\frac{1}{3}$＜a＜0}∩{a|a＜0或a＞8}={a|-$\frac{1}{3}$＜a＜0}=（-$\frac{1}{3}$，0），
故答案為：（-$\frac{1}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，根據(jù)條件當(dāng)x＞0和x＜0時(shí)，ln（x+1）的符號(hào)一定，此時(shí)討論g（x）=x²-ax+2a的符號(hào)，結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．