Question

6．已知函數f（x）=sin²x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）的單調增區(qū)間；
（3）畫出函數y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）由三角函數恒等變換化簡解析式可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，由正弦函數的圖象和性質即可求得最小正周期，最小值．
（2）由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的單調增區(qū)間．
（3）由（1）的解析式列出表格，在平面坐標系中描出五個點，然后用平滑的曲線作出函數的圖象即可．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+sinxcosx
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$．
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，最小值為$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）∵由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ$-\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∴f（x）的單調增區(qū)間為：[kπ$-\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．
（3）列表如下：

2x-$\frac{π}{4}$	-$\frac{5π}{4}$	-$\frac{3π}{4}$	-$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{3π}{4}$
x	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$
y	1	0	0	1	1

對應的圖象如下：

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，考查了正弦函數的圖象和性質，五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，要求熟練掌握五點作圖法，屬于中檔題．