Question

已知函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{a_n}滿足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．
證明：（I）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（II）．

Answer 1

證明：（I）先用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜a_n＜1，n=1，2，3，
（i）當(dāng)n=1時(shí)，由已知顯然結(jié)論成立．
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即0＜a_k＜1．
因?yàn)?＜x＜1時(shí)f′（x）=1-cosx＞0，
所以f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．又f（x）在[0，1]上連續(xù)，
從而f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1-sin1＜1．
故n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
由（ i）、（ii）可知，0＜a_n＜1對(duì)一切正整數(shù)都成立．
又因?yàn)?＜a_n＜1時(shí)，a_n+1-a_n=a_n-sina_n-a_n=-sina_n＜0，
所以a_n+1＜a_n，
綜上所述0＜a_n+1＜a_n＜1．
（II）設(shè)函數(shù)g（x）=sinx-x+，0＜x＜1．由（I）知，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，sinx＜x，
從而g′（x）=cosx-1+=0．
所以g（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
又g（x）在[0，1]上連續(xù)，且g（0）=0，
所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＞0成立．
于是g（a_n）＞0，即sina_n-a_n+³＞0．
故a_n+1＜³．
分析：（I）先利用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜a_n＜1，再比較a_n+1和a_n的大小即可證明結(jié)論．
（II）構(gòu)造新函數(shù)，0＜x＜1．利用g（x）在（0，1）上單調(diào)性來(lái)求g（x）的函數(shù)值的范圍即可證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)與數(shù)列以及數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用．在用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，一定要注意其過(guò)程的寫(xiě)法．