Question

19．已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²，若方程f（x）+m=0在$[{\frac{1}{e}，e}]$內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（{1，2+\frac{1}{e^2}}]$．

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化方程為函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化求解m的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=2lnx-x²，若方程f（x）+m=0在$[{\frac{1}{e}，e}]$內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即函數(shù)f（x）=2lnx-x²，與y=-m在$[{\frac{1}{e}，e}]$內(nèi)有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，
f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x，令$\frac{2}{x}$-2x=0可得x=±1，當(dāng)x∈[$\frac{1}{e}$，1）時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，
函數(shù)的最大值為：f（1）=-1，f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，f（e）=2-e²．函數(shù)的最小值為：2-e²．
方程f（x）+m=0在$[{\frac{1}{e}，e}]$內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，只需：-2-$\frac{1}{{e}^{2}}≤-m＜-1$，
解得m∈$（{1，2+\frac{1}{e^2}}]$．
故答案為：$（{1，2+\frac{1}{e^2}}]$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．