Question

11．四面體D-ABC中，BA，BC，BD兩兩垂直，且AB=BC=2，二面角D-AC-B的大小為60°，則四面體D-ABC的體積是（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• D． $2\sqrt{6}$

Answer 1

分析 取AC中點E，連結(jié)BE、DE，則∠BED=60°，由此求出BD=$\sqrt{6}$，從而能求出四面體D-ABC的體積．

解答 解：如圖，∵面體D-ABC中，BA，BC，BD兩兩垂直，且AB=BC=2，
∴BD⊥平面ABC，
取AC中點E，連結(jié)BE、DE，則BE⊥AC，∴DE⊥AC，
∴∠BED是二面角D-AC-B的平面角，
∵二面角D-AC-B的大小為60°，∴∠BED=60°，
∴∠BDE=30°，
∵BE=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，（2BE）²=BE²+BD²，
解得BD=$\sqrt{6}$，
∴四面體D-ABC的體積：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×DB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{6}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查四面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．