Question

19．若存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n-7）3ⁿ+9（n∈N^*）都能被m整除，則m的最大值為6．

Answer 1

分析 我們將n=1，2，3，4依次代入，計(jì)算相應(yīng)的f（n）的值，由此不難得到滿足條件的m值，然后再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法對(duì)結(jié)論進(jìn)行證明．

解答 解：由f（n）=（2n-7）•3ⁿ+9，得f（1）=-6，
f（2）=-3×6，f（3）=-3×6，f（4）=15×6，由此猜想m=6．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立．
（2）假設(shè)n=k時(shí)，f（k）能被6整除，
即f（k）=（2k-7）•3^k+9能被6整除；
當(dāng)n=k+1時(shí)，[2（k+1）-7]•3^k+1+9=3[（2k-7）•3^k+9]+18（3^k-1-1），
由于3^k-1-1是2的倍數(shù)，故18（3^k-1-1）能被6整除．
這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，f（n）也能被6整除．
由（1）（2）可知對(duì)一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9能被6整除，
m的最大值為6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查學(xué)生的觀察能力，考查推理、論證的能力，運(yùn)算難點(diǎn)，屬于難題．