Question

【題目】平面四邊形中， , 為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折得到四面體，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：四邊形為矩形；

（Ⅱ）當(dāng)平面平面時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析 （Ⅱ）

【解析】【試題分析】（1）先運(yùn)用三角形中位線定理證得四邊形為平行四邊形，再借助等邊三角形的性質(zhì)及線面垂直的判定定理證明，進(jìn)而證明，從而證明四邊形為矩形；（2）先依據(jù)題設(shè)條件及面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的數(shù)量積公式求出平面的一個(gè)法向量.進(jìn)而求出直線與平面所成角的正弦值：

解：（Ⅰ）∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，

∴且，

∴四邊形為平行四邊形.

取的中點(diǎn)，連結(jié).

∵為等腰直角三角形， 為正三角形，

∴,

∴平面.

又∵平面，∴，

由且可得，

∴四邊形為矩形.

（Ⅱ）由平面

分別以的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

依題意，設(shè)，則，

∴.

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有

令，則.

∴直線與平面所成角的正弦值

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