Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ex（a∈R）．其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求極值；

（2）令函數(shù)g（x）＝f（x）+ex，若x∈[1，+∞）時(shí)，g（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?/span>0，+∞）．求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類討論可得原函數(shù)的單調(diào)性并求得極值；

（2）對g（x）求導(dǎo)函數(shù)，對a分類討論，當(dāng)a≥0時(shí)，易得g（x）為單調(diào)遞增，有g（x）≥g（1）＝0，符合題意．當(dāng)a＜0時(shí)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得存在x0∈（1，）使g′（x0）＝0，再結(jié)合g（1）＝0，可得當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，g（x）＜0，不符合題意．由此可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?/span>0，+∞）．

f′（x）．

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，f（x）無極值；

②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得：0＜x，可得函數(shù)f（x）在（0，）上單調(diào)遞增．

由f′（x）＜0，得：x，可得函數(shù)f（x）在（，+∞）單調(diào)遞減，

∴函數(shù)f（x）在x時(shí)取極大值為：f（）＝alna﹣2a；

（2）由題意有g（x）＝alnx﹣ex+ex，x∈[1，+∞）．

g′（x）．

①當(dāng)a≥0時(shí)，g′（x）．

故當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，g（x）＝alnx﹣ex+ex為單調(diào)遞增函數(shù)；

g（x）≥g（1）＝0，符合題意．

②當(dāng)a＜0時(shí)，g′（x），令函數(shù)h（x），

由h′（x）0，c∈[1，+∞），

可知：g′（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，

又g′（1）＝a＜0，g′（x），

當(dāng)x時(shí)，g′（x）＞0．

∴存在x0∈（1，）使g′（x0）＝0，

因此函數(shù)g（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，

又g（1）＝0，∴當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，g（x）＜0，不符合題意．

綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，+∞）．