Question

如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第b行有n個數(shù)，且第n（n≥2）行兩端的數(shù)均為

1

n

，每個數(shù)都是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如

1

1

=

1

2

+

1

2

1

2

=

1

3

+

1

6

，

1

3

=

1

4

+

1

12

，…，則第7行第3個數(shù)（從左往右數(shù)）為

 

．

Answer 1

分析：觀察圖中的三角形數(shù)陣，將其改寫成等價形式，發(fā)現(xiàn)分母的規(guī)律：第n行第k項(xiàng)的通項(xiàng)是

1

kCnk

，由此不難得出第7行第3個數(shù)．

解答：解：圖中三角形數(shù)陣可寫成如下的等價形式

1

C11

1

C21

 

1

2C22

1

C31

 

1

2C32

 

1

3C33

1

C41

 

1

2C42

 

1

3C43

 

1

4C44

1

C51

 

1

2C52

 

1

3C53

 

1

4C54

 

1

5C55

…，
可得第n行第k項(xiàng)的通項(xiàng)是

1

kCnk

，由此可得第7行第3個數(shù)是

1

3C73

=

1

3× 7×6×5 3×2×1

=

1

105

故答案為：

1

105

點(diǎn)評：本題以萊布尼茲調(diào)和三角形數(shù)陣為載體，叫我們叫第7行第3項(xiàng)，著重考查了數(shù)列通項(xiàng)的求法、組合數(shù)的性質(zhì)和歸納推理的一般方法，屬于基礎(chǔ)題．