Question

【題目】

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．

（1）求實數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）解不等式： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)定義域在上的奇函數(shù)可得即可求解實數(shù)的值；(2)直接利用定義法證明單調(diào)性；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即求解不等式.

試題解析：（1）由題意可知，解得

（2）由（1）

函數(shù)在上為增函數(shù)，

證明：在上任取，且，

∵，∴，∴， ，

∴，即，

函數(shù) 在上為增函數(shù)．

（3）原不等式，

∵是定義在上的奇函數(shù)，∴

由對數(shù)的性質(zhì)

又∵是上的增函數(shù)，

∴，

解得，∴.

【方法點晴】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性及抽象函數(shù)解不等式，屬于難題.根據(jù)抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式應注意以下三點：（1）一定注意抽象函數(shù)的定義域（這一點是同學們?nèi)菀资韬龅牡胤�，不等掉以輕心）；（2）注意應用函數(shù)的奇偶性（往往需要先證明是奇函數(shù)還是偶函數(shù)）；（3）化成 后再利用單調(diào)性和定義域列不等式組.