Question

已知數(shù)列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想a_n的通項(xiàng)公式，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）在數(shù)列遞推式中，令n=1求出a₂，令n=2求出a₃，，令n=3求出a₄．
（2）由（1）應(yīng)猜想a_n=2ⁿ-1．用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答：解：（1）n=1時(shí) a₂=2×1+1=3
n=2時(shí) a₃=2×3+1=7
n=3時(shí) a₄=2×7+1=15
（2）猜想a_n=2ⁿ-1．證明
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2¹-1=1，命題成立．
②假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)命題成立．即 a_k=2^k-1．
那么n=k+1時(shí)，a_k+1=2×a_k+1=2×（2^k-1）+1=2^k+1-1．命題對(duì)n=k+1也成立
綜上①②可知命題對(duì)一切自然數(shù)都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由特殊到一般的歸納推理，以及數(shù)學(xué)歸納法證明命題．題目雖簡(jiǎn)單，但具有一定的代表性，經(jīng)歷了如下的思維過(guò)程：計(jì)算，歸納猜想，證明．