Question

【題目】已知：函數(shù)f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求f（x）定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得 ，即﹣2＜x＜2．∴f（x）的定義域為（﹣2，2）；
（Ⅱ）∵對任意的x∈（﹣2，2），﹣x∈（﹣2，2）
f（﹣x）=loga（2﹣x）﹣loga（2+x）=﹣f（x），
∴f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）是奇函數(shù)；
（Ⅲ）f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）＞0，即log2（2+x）＞loga（2﹣x），
∴當(dāng)a∈（0，1）時，可得2+x＜2﹣x，即﹣2＜x＜0．
當(dāng)a∈（1，+∞）時，可得2+x＞2﹣x，即x∈（0，2）
【解析】（Ⅰ）利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列出不等式求解函數(shù)的定義域．（Ⅱ）利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷即可．（Ⅲ）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和對數(shù)的運算性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；①加法：②減法：③數(shù)乘：④⑤才能正確解答此題．