Question

7．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$\frac{2sinC-sinB}{sinB}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=2，sinC=3sinB，求b，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據余弦定理以及兩角和的正弦公式以及誘導公式和特殊角的三角函數值即可求出，
（Ⅱ）由正弦定理和余弦定理即可求出

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{2sinC-sinB}{sinB}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2accosB}{2bccosA}$=$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}$，
∴2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，
∴2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
（Ⅱ）∵sinC=3sinB，
∴c=3b，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA
∴4=b²+9b²-3b²=7b²，
∴b=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，c=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及和角的三角函數，屬中檔題．