Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax³-3x²．
（1）若x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=e^xf（x）在[0，2]上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由條件“x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)”可知f'（2）=0，解出a，需要驗(yàn)證在x=2處附近的導(dǎo)數(shù)符號(hào)有無改變；
（2）由在[0，2]上是單調(diào)減函數(shù)可轉(zhuǎn)化成在[0，2]上導(dǎo)函數(shù)恒小于零，再借助參數(shù)分離法分離出參數(shù)a，再利用導(dǎo)數(shù)法求出另一側(cè)的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
因?yàn)閤=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，
所以a=1．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)，x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．
即a=1．（6分）
（Ⅱ）由題設(shè)，g′（x）=e^x（ax³-3x²+3ax²-6x），又e^x＞0，
所以，?x∈（0，2]，ax³-3x²+3ax²-6x≤0，
這等價(jià)于，不等式a≤

3x2+6x

x3+3x2

=

3x+6

x2+3x

對(duì)x∈（0，2]恒成立．
令h(x)=

3x+6

x2+3x

（x∈（0，2]），
則h′(x)=-

3(x2+4x+6)

(x2+3x)2

=-

3[(x+2)2+2]

(x2+3x)2

＜0，
所以h（x）在區(qū)間（0，2]上是減函數(shù)，
所以h（x）的最小值為h(2)=

6

5

．
所以a≤

6

5

．即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞，

6

5

]．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．