Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax³-3x²，x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，可以求出a的值．
（2）利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3ax²-6x，因?yàn)閤=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，
所以f'（2）=3a×4-6×2=0，解得a=1，
經(jīng)檢驗(yàn)值a=1成立．
（1）當(dāng)a=1時，f'（x）=3x²-6x=3x（x-2），
由f'（x）=3x（x-2）＞0，得x＞2或x＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
由f'（x）=3x（x-2）＜0，得0＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的極值和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)于，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，比較綜合．