Question

設(shè)棱長(zhǎng)為1的正方體為圖形C₁，以C₁各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為圖形C₂，以C₂各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正方體為圖形C₃，以C₃各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為圖形C₄，…，以此類推．設(shè)正多面體C_n（n∈N⁺）的棱長(zhǎng)為a_n（各棱長(zhǎng)相等的多面體稱為正多面體），則：
（1）a₁=1，a₂=

 

；
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件先求出a₂，
（2）根據(jù)條件依次求出a₃，a₄，a₅，然后利用歸納推理得到：n為奇數(shù)時(shí)，a_n的表達(dá)式．

解答： 解：（1）正方體C₁各面中心為頂點(diǎn)的凸多面體C₂為正八面體，
它的中截面（垂直平分相對(duì)頂點(diǎn)連線的界面）是正方形，
該正方形對(duì)角線長(zhǎng)等于正方體的棱長(zhǎng)，
所以它的棱長(zhǎng)a₂=

1

2

=

2

2

；
（2）以C₂各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正方體為圖形C₃是正方體，
正方體C₃面對(duì)角線長(zhǎng)等于C₂棱長(zhǎng)的

2

3

，（正三角形中心到對(duì)邊的距離等于高的

2

3

），
因此對(duì)角線為

2

3

×

2

2

=

2

3

，所以a₃=

2

3 2

=

1

3

，
以上方式類推，得a4=

a3

2

=

2

6

，a5=

2 3 ×a4

2

=

1

9

，…，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=(

1

3

)

n-1

2

，
故答案為：（1）

2

2

；（2）(

1

3

)

n-1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列得通項(xiàng)公式，以及歸納推理的應(yīng)用，可以從中找到規(guī)律，分奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)討論，可以求a_n通項(xiàng)公式．