Question

某商店根據(jù)以往某種玩具的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．
（1）估計(jì)日銷售量的眾數(shù)；
（2）求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；
（3）用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）直接利用頻率分布直方圖，估計(jì)日銷售量的眾數(shù)即可；
（2）求出“日銷售量不低于100個(gè)”，“日銷售量低于50個(gè)”的概率，然后求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；
（3）推出X的可能值，分別求出X的概率，即可求隨機(jī)變量X的分布列，利用公式求解期望E（X）及方差D（X）．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）依據(jù)日銷售量的頻率分布直方圖可得眾數(shù)為

100+150

2

=125．（3分）
（2）記事件A₁：“日銷售量不低于100個(gè)”，事件A₂：“日銷售量低于50個(gè)”，
事件B：“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)”．
則P（A₁）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，（4分）
P（A₂）=0.003×50=0.15，（5分）
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．（7分）
（3）X的可能取值為0，1，2，3．
P(X=0)=

C

0 3

(1-0.6)3=0.064，（8分）
P(X=1)=

C

1 3

×0.6×(1-0.6)2=0.288，（9分）
P(X=2)=

C

2 3

×0.62×(1-0.6)=0.432，（10分）
P(X=3)=

C

3 3

×0.63=0.216，（11分）
分布列為

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

因?yàn)閄～B（3，0.6），
所以期望E（X）=3×0.6=1.8，（12分）
方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查分析問題解決問題的能力．