Question

已知函數f（x）=

lnx

x

（其中e為自然對數的底數）
（1）求函數f（x）的極值；
（2）設函數g（x）=x²f（x）-mx，其中m∈R，求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）先求函數f（x）=

lnx

x

的定義域（0，+∞），再求導f′（x）=

1-lnx

x2

，從而判斷單調性及極值；
（2）化簡g（x）=x²f（x）-mx=xlnx-mx，從而得到g′（x）=lnx+1-m；從而討論導數的正負以確定函數的單調性，從而求最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

lnx

x

的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
x∈（0，e）時，f′（x）＞0，x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，e）上是增函數，在（e，+∞）上是減函數，
故f（x）在x=e上有極大值f（e）=

1

e

；
（2）g（x）=x²f（x）-mx=xlnx-mx；
g′（x）=lnx+x•

1

x

-m=lnx+1-m；
若1-m≤-1，即m≥2時，
當x∈[1，e]時，g′（x）≤0；
故g（x）在[1，e]上是減函數，
故g_min（x）=g（e）=e-me；
若-1＜1-m＜0，即1＜m＜2時，
當x∈[1，e^m-1]時，g′（x）≤0，當x∈[e^m-1，e]時，g′（x）＞0；
故g（x）在x=e^m-1處取得最小值g_min（x）=g（e^m-1）=-e^m-1；
若1-m≥0，即m≤1時，
當x∈[1，e]時，g′（x）≥0；
故g（x）在[1，e]上是增函數，
故g_min（x）=g（1）=-m；
故g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為
g_min（x）=

e-me，m≥2 -em-1，1＜m＜2 -m，m≤1

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及分段函數的應用，屬于中檔題．