Question

已知a∈{x|(

1

2

)x-x=0}，則f(x)=a(x2-2x-3)的增區(qū)間為

 

．

Answer 1

分析：由條件利用函數(shù)零點的判定定理可得 0＜a＜1，令t=x²-2x-3=（x-1）²-4，則 f（x）=a^t，本題即求函數(shù)t的減區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)t的減區(qū)間．

解答：解：∵已知a∈{x|(

1

2

)x-x=0}={x|f（x）=(

1

2

)x-x=0}，f（0）=1＞0，f（1）=-

1

2

＜0，
故函數(shù)f（x）的零點在（0，1）上，
∴0＜a＜1．
令t=x²-2x-3=（x-1）²-4，
則 f（x）=a^t，本題即求函數(shù)t的減區(qū)間．
再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)t的減區(qū)間（-∞，1]，
故答案為：（-∞，1]．

點評：本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點的判定定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．