Question

18．已知p：x∈{x|$\frac{1}{2}$＜2^x-a＜1），q：x∈{x|y=log₂（x²-x-6）}
（1）若a=4，判斷p是q的什么條件；
（2）若￢p是￢q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=4時，對于p：$\frac{1}{2}$＜2^x-4＜1，解得A=（3，5）．對于q：x²-x-6＞0，解得B=（-∞，-2）∪（3，+∞）．即可判斷出關(guān)系．
（2）由$\frac{1}{2}$＜2^x-a＜1，可得：a-1＜x＜a．￢p是￢q的必要不充分條件，可得q是p的必要不充分條件．即可得出．

解答 解：（1）a=4時，對于p：$\frac{1}{2}$＜2^x-4＜1，解得：3＜x＜5，記作A=（3，5）．
對于q：x²-x-6＞0，解得x＞3或x＜-2，記作B=（-∞，-2）∪（3，+∞）．
A?B，
∴p是q的充分不必要條件．
（2）由$\frac{1}{2}$＜2^x-a＜1，可得：a-1＜x＜a．
￢p是￢q的必要不充分條件，
∴q是p的必要不充分條件．
∴a-1≥3或a≤-2，
解得a≥4，或a≤-2．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

點評 本題考查了不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性、集合的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．