Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₇=4，a₁₉=2a₉．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=a_n•22an．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，利用方程組的思想求出首項和公差即可；
（2）利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，因為a₇=4，a₁₉=2a₉，
所以

a1+6d=4 a1+18d=2(a1+8d)

，
解得a₁=1，d=

1

2

，
所以等差數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

n+1

2

；
（2）由（1）得b_n=a_n•22an=（n+1）2ⁿ，
所以數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）2ⁿ，
                  2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-S_n=2•2¹+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）2ⁿ⁺¹
=4+

22(1-2n-1)

1-2

-(n+1)2n+1
=4+2²（2^n-1-1）-（n+1）2ⁿ⁺¹
=-n2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式的求法以及利用錯位相減法求等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項乘積形式的數(shù)列的前n項和．