【題目】已知圓C過點(1,2)和(2,1),且圓心在直線x+y﹣4=0上.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)若一束光線l自點A(﹣3,3)發(fā)出,射到x軸上,被x軸反射到圓C上,若反射點為M(a,0),求實數a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)設圓心坐標為(x,4﹣x),則(x﹣1)2+(2﹣x)2=(x﹣2)2+(3﹣x)2 ,
∴x=2,
∴C(2,2),
∴圓C的方程C:(x﹣2)2+(y﹣2)2=1;
(Ⅱ)A關于x軸的對稱點A′(﹣3,﹣3),設過A′的直線為y+3=k(x+3),
當該直線與⊙C相切時,有=1,∴k=或k=
∴過A′,⊙C的兩條切線為y+3=(x+3),y+3=(x+3),
令y=0,得x1=﹣,x2=1
∴反射點M在x軸上的范圍是[﹣,1].
【解析】(Ⅰ)求出圓心坐標與半徑,即可求圓C的方程;
(Ⅱ)由題意,可知反射線必過定點A′(點是點A關于x軸對稱的點),利用幾何知識知當反射線與已知圓相切時恰好為范圍的臨界狀態(tài).
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓的標準方程的相關知識,掌握圓的標準方程:;圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程.
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【題目】已知函數, ,其中函數的圖象在點處的切線平行于軸.
(1)確定與的關系;若,并試討論函數的單調性;
(2)設斜率為的直線與函數的圖象交于兩點 ,求證: .
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【題目】以直角坐標系的原點為極點, 軸正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線的參數方程為,( 為參數, ),曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的直角坐標方程;
(2)設直線與曲線相交于, 兩點,當變化時,求的最小值.
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【題目】已知函數f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數
(1)求k的值;
(2)設g(x)=log4(a2x﹣ a),若函數f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數a的取值范圍.
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【題目】已知直線l過點P(0,2),斜率為k,圓Q:x2+y2﹣12x+32=0.
(1)若直線l和圓相切,求直線l的方程;
(2)若直線l和圓交于A、B兩個不同的點,問是否存在常數k,使得+與共線?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數f(x)=loga(1﹣x)﹣loga(1+x)(a>0,且a≠1).
(1)求函數f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性;
(3)求滿足不等式f(x)<0的x的取值范圍.
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