Question

10．已知數(shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，其前n項和為S_n滿足${S_n}={（\frac{{{a_n}+1}}{2}）^2}$，設(shè)b_n=10-a_n（n∈N）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n的最大值．
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項公式為${b_n}=\frac{a_n}{{{a_n}+t}}$，問：是否存在正整數(shù)t，使得b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N）成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時，${a_1}={S_1}={（\frac{{{a_1}+1}}{2}）^2}$，解得a₁=1．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由已知可得：a_n-a_n-1-2=0，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=10-a_n=-2n+11，可得{b_n}是等差數(shù)列，利用求和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（3）由（1）知${b_n}=\frac{2n-1}{2n-1+t}$．要使b₁，b₂，b_m成等差數(shù)列，可得2b₂=b₁+b_m，代入化簡即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，${a_1}={S_1}={（\frac{{{a_1}+1}}{2}）^2}$，∴a₁=1…（2分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$（\frac{{a}_{n}+1}{2}）^{2}$-$（\frac{{a}_{n-1}+1}{2}）^{2}$，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，∴a_n+a_n-1＞0，a_n-a_n-1-2=0，
所以{a_n}是等差數(shù)列，公差為2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=10-a_n=-2n+11，b₁=9，
∵b_n-b_n-1=-2，∴{b_n}是等差數(shù)列…（7分）
∴${T_n}=\frac{{n（{b_1}+{b_n}）}}{2}=-{n^2}+10n$，當(dāng)n=5時，${T_{nmax}}=-{5^2}+10×5=25$…（10分）
（3）由（1）知${b_n}=\frac{2n-1}{2n-1+t}$．要使b₁，b₂，b_m成等差數(shù)列，
∴2b₂=b₁+b_m，即$2×\frac{3}{3+t}=\frac{1}{1+t}+\frac{2m-1}{2m-1+t}$，…．整理得$m=3+\frac{4}{t-1}$，…1（2分）
因為m，t為正整數(shù)，所以t只能取2，3，5．
當(dāng)t=2時，m=7；當(dāng)t=3時，m=5；當(dāng)t=5時，m=4．
故存在正整數(shù)t，使得b₁，b₂，b_m成等差數(shù)列．…（16分）

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式與求和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．