Question

5．已知四棱錐S-ABCD的底面為平行四邊形，且SD⊥平面ABCD，AB=2AD=2SD，∠DCB=60°，M，N分別為SB，SC的中點，過MN作平面MNPQ分別與線段CD，AB相交于點P，Q，且$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AB}$．
（1）當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時，證明：平面MNPQ∥平面SAD；
（2）是否存在實數(shù)λ，使得二面角M-PQ-B為60°？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出MN∥BC，MN∥BC，從而MN∥平面SAD，再求出MQ∥平面SAD，由此能證明平面MNPQ∥平面SAD．
（2）連結(jié)BD，交PQ于點R，則BC∥平面MNPQ，從而PQ∥BC∥AD，推導(dǎo)出AD⊥平面SBD，PQ⊥平面SBD，則∠MRB為二面角M-PQ-B的平面角，從而∠MRB=60°，過M作ME⊥DB于E，則ME∥SD，從而ME⊥平面ABCD，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵M，N分別是SB，SC的中點，∴MN∥BC，
由底面ABCD為平行四邊形，得AD∥BC，∴MN∥BC，
又MN?平面SAD，∴MN∥平面SAD，
∵λ=$\frac{1}{2}$，∴Q為AB的中點，∴MQ∥SA，
又MQ?平面SAD，∴MQ∥平面SAD，
∵MN∩MQ=M，∴平面MNPQ∥平面SAD．
解：（2）連結(jié)BD，交PQ于點R，
∵MN∥BC，∴BC∥平面MNPQ，
又平面MNPQ∩平面ABCD=PQ，
∴PQ∥BC∥AD，
在?ABCD中，AB=2AD，∠DCB=60°，∴AD⊥DB，
又SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AD，且SD∩DB=D，
∴AD⊥平面SBD，
∴PQ⊥平面SBD，∴∠MRB為二面角M-PQ-B的平面角，
∴∠MRB=60°，
∵過M作ME⊥DB于E，則ME∥SD，∴ME⊥平面ABCD，
設(shè)AD=SD=a，∴M為SB的中點，∴ME=$\frac{a}{2}$，DE=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
在Rt△MER中，ME=$\frac{a}{2}$，∠MRB=60°，∴RE=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，
∴DR=DE-RE=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴$\frac{DR}{DB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{1}{3}$，∵PQ∥AD，∴$λ=\frac{AQ}{AB}=\frac{DR}{DB}=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查面面平行的證明，考查二面角、空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．