Question

3．已知函數(shù)f（x）=sin⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos⁴x
（1）求函數(shù)的最小正周期．
（2）求出該函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）關(guān)于x的方程f（x）=k（0＜k＜2，0≤x≤π）有兩個(gè)解x₁，x₂時(shí)，求x₁+x₂．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)二倍角公式，化簡f（x），再根據(jù)最小正周期的定義求出即可，
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出單調(diào)遞增區(qū)間，
（3）利用數(shù)形結(jié)合得到x₁+x₂為對稱軸的二倍，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸即可．

解答 解：（1）f（x）=sin⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）+2$\sqrt{3}$sinxcosx=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴函數(shù)的最小正周期為π，
（2）∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)，-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$，
當(dāng)k=1時(shí)，$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{4π}{3}$，
∴函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]，[$\frac{5π}{6}$，π]．
（3）畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示
x的方程f（x）=k（0＜k＜2，0≤x≤π）有兩個(gè)解x₁，x₂時(shí)，
則方程的解位于對稱軸兩側(cè)，
∵f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的對稱軸為2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)，x=$\frac{π}{3}$，
當(dāng)k=1時(shí)，x=$\frac{5π}{6}$，
∴x₁+x₂=2x=$\frac{2π}{3}$，或x₁+x₂=2x=$\frac{5π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．