Question

16．已知圓C₁：（x-1）²+（y-3）²=1，圓C₂：（x-6）²+（y-1）²=1，M，N分別是圓C₁，C₂上的動點，P為直線x-y-2=0上的動點，則||PM|-|PN||的最大值為$\sqrt{5}+2$．

Answer 1

分析 分別求出圓C₁，圓C₂的圓心和半徑，由于|PM|-|PN|≤（|PC₁|+1）-（|PC₂|-1）=2+|PC₁|-|PC₂|，求出C₂（6，1）關(guān)于直線l：x-y-2=0的對稱點為C₃（3，4），則2+|PC₁|-|PC₂ |=2+|PC₁|-|PC₃|≤|C₁C₃|+2≤$\sqrt{5}$+2，由此可得|PM|-|PN|的最大值．

解答 解：圓C₁：（x-1）²+（y-3）²=1的圓心為C₁：（1，3），半徑等于1，
C₂：（x-6）²+（y-1）²=1的圓心C₂（6，1），半徑等于1，
則|PM|-|PN|≤（|PC₁|+1）-（|PC₂|-1）=2+|PC₁|-|PC₂|．
設(shè)C₂（6，1）關(guān)于直線l：x-y-2=0的對稱點為C₃ （ h，k），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k-1}{h-6}×1=-1}\\{\frac{h+6}{2}-\frac{k+1}{2}-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{h=3}\\{k=4}\end{array}\right.$，可得C₃ （3，4）．
則2+|PC₁|-|PC₂ |=2+|PC₁|-|PC₃|≤|C₁C₃|+2≤$\sqrt{5}$+2，
即當(dāng)點P是直線C₁C₃和直線l的交點時，|PM|-|PN|取得最大值為$\sqrt{5}+2$．
故答案為：$\sqrt{5}+2$．

點評 本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了點與圓關(guān)于直線的對稱問題，屬于中檔題．