Question

8．△ABC 中，∠A：∠B=1：2，∠ACB的平分線 CD把△ABC 的面積分成 3：2 兩部分，則cosA等于（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$或$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由A與B的度數(shù)之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分線定理根據(jù)角平分線CD將三角形分成的面積之比為3：2，得到BC與AC之比，再利用正弦定理得出sinA與sinB之比，將B=2A代入并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，即可求出cosA的值．

解答 解：∵A：B=1：2，即B=2A，
∴B＞A，
∴AC＞BC，
∵角平分線CD把三角形面積分成3：2兩部分，
∴由角平分線定理得：BC：AC=BD：AD=2：3，
∴由正弦定理$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，得：$\frac{sinA}{sinB}=\frac{2}{3}$，
整理得：$\frac{sinA}{sin2A}=\frac{sinA}{2sinAcosA}$=$\frac{2}{3}$，
則cosA=$\frac{3}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦定理，角平分線定理，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．