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【題目】已知函數.

（1）討論在上的零點個數；

（2）當時，若存在，使，求實數的取值范圍.（為自然對數的底數，其值為2.71828……）

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）構造函數，先將討論在上的零點個數問題，轉化為討論直線與曲線的交點個數問題，用導數方法研究函數單調性，求出值域，即可得出結果；

（2）根據（1）的結果，由求出零點，得到，再由題意得到成立，構造函數，用導數方法研究其單調性，進而可求出結果.

（1）由得，令，

因此討論在上的零點個數，即是討論直線與曲線的交點個數，

∵，在上恒成立，

故在上單調遞增，，

又連續(xù)不斷，所以當時，在上無零點；

當時，在上存在一個零點.

（2）當時，由（1）得在上存在一個零點，

由得，

由（1）可得在上單調遞減，在上單調遞增；

所以，

又存在，使成立，

所以，只需成立，即不等式成立，

令，

則，

易知在上恒成立，

故在上單調遞增

又，所以.

故實數的取值范圍為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某商場為改進服務質量，在進場購物的顧客中隨機抽取了人進行問卷調查．調查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下：

滿意

不滿意

男

女

是否有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關？

若在購物體驗滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價值元的購物券．若在獲得了元購物券的人中隨機抽取人贈其紀念品，求獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率．

附表及公式：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數

（1）求函數的單調區(qū)間和的極值；

（2）對于任意的，，都有，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左，右焦點分別為，，，M是橢圓E上的一個動點，且的面積的最大值為.

（1）求橢圓E的標準方程，

（2）若，，四邊形ABCD內接于橢圓E，，記直線AD，BC的斜率分別為，，求證:為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】綠色已成為當今世界主題，綠色動力已成為時代的驅動力，綠色能源是未來新能源行業(yè)的主導．某汽車公司順應時代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試．現對測試數據進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50．用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值；

（�。┈F從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的概率；

（ⅱ）從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中隨機抽取10輛，設這10輛汽車中單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的數量為，求；

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券．已知硬幣出現正、反面的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次，若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到），若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結束．設遙控車移到第格的概率為，其中，試說明是等比數列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購買該款新能源汽車.

參考數據：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】(2017·江蘇高考)如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的上頂點到左焦點的距離為.直線與橢圓交于不同兩點、（、都在軸上方），且.

（1）求橢圓的方程；

（2）當為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線方程；

（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】隨著科技的發(fā)展，網購已逐漸融入了人們的生活.網購是非常方便的購物方式，為了了解網購在某市的普及情況，某調查機構進行了有關網購的調查，并從參與調查的市民中隨機抽取了男、女各100人進行分析，得到如下所示的統(tǒng)計表.

經常網購

偶爾網購或不網購

合計

男性

50

100

女性

70

100

合計

附:，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（1）完成上表，并根據以上數據判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該市市民的網購情況與性別無關.

（2）①現從所抽取的100位女性市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券，求選取的3人中至少有2人經常網購的概率；

②將頻率視為概率，從該市所有參與調查的市民中隨機抽取10人贈送禮品，記其中經常網購的人數為X，求隨機變量X的數學期望和方差.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修：不等式選講

已知函數f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．

（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；

（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求實數m的取值范圍．

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