Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，從丄仙，垂足為H，PH是四棱錐的高..已知AB=，∠APB=∠ADB=60°．
（I ）證明：平面ABC丄平面PBD；
（II ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（III）求二面角P-AD-B的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中PH是四棱錐的高，AC⊥BD，結(jié)合線面直線的判定定理我們可得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理，我們可得平面ABC丄平面PBD；
（II ）由已知中ABCD的為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=，我們求出底面ABCD的面積，及棱錐的高PH的值，代入棱錐體積公式即可得到四棱錐P-ABCD的體積；
（III）過H作HE⊥AD于E，連接PE，則∠PEH即為二面角P-AD-B的平面角，解三角形PEH，即可求出二面角P-AD-B的正切值．
解答：解：（I）證明：如圖所示：
∵PH是四棱錐的高
∴AC⊥PH，
又∵AC⊥BD，PH∩BD=H
∴AC⊥平面PBD
又∵AC?平面PAC
∴平面ABC丄平面PBD；
（II ）解：∵ABCD的為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=
∴HA=HB=
又∵∠APB=∠ADB=60°．
∴PA=PB=，HD=HC=1
∴PH==
∴=2+
∴V_P-ABCD==
（III）解：過H作HE⊥AD于E，連接PE
∵PH是四棱錐的高
∴PE⊥AD
∴∠PEH即為二面角P-AD-B的平面角
在直角三角形AHD中，AH=，DH=1
∴AD=2
∴HE=
∴tan∠PEH==2
故二面角P-AD-B的正切值為2
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，二面角的平面角及求法，其中熟練掌握面面垂直的判定定理是（I）的關(guān)鍵，求也底面面積及高是求（II）的關(guān)鍵，而找到二面角的平面角是解（III）的關(guān)鍵．