Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的圖象過(guò)原點(diǎn)，且與平行x軸的直線相切于點(diǎn)（1，）．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若常數(shù)m＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-m，m]上的最大值．

Answer 1

解：（I）∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的圖象過(guò)原點(diǎn)，
∴f（0）=c=0
求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=3x²+2ax+b
∵與平行x軸的直線相切于點(diǎn)（1，）．
∴f（1）=1+a+b=，f′（1）=3+2a+b=0
∴a=-，b=0
∴f（x）=x³x²
（Ⅱ）f（x）=x³x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函數(shù)在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)增；在（0，1）上單調(diào)減，
∴函數(shù)在x=0處取得極大值0，
令f（x）=x³x²=0，可得x=0或x=
∴0＜m＜時(shí)，f（m）＜0，函數(shù)在x=0處取得最大值0；
m≥時(shí)，f（m）≥0，函數(shù)在x=m處取得最大值m³m²．
分析：（I）根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的圖象過(guò)原點(diǎn)，可得f（0）=c=0．求導(dǎo)函數(shù)，利用與平行x軸的直線相切于點(diǎn)（1，），即可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）=x³x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），確定函數(shù)的單調(diào)性與極大值，將端點(diǎn)函數(shù)值與極大值比較，進(jìn)行分類討論，即可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-m，m]上的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題的關(guān)鍵是明確函數(shù)的最值在極值處或端點(diǎn)處取得，屬于中檔題．