Question

討論函數(shù)y=sinx-cosx+asin2x，（a＞0）在[0，π]上的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：觀察解析式特點，只要換元，設(shè)t=sinx-cosx，將解析式變形為關(guān)于t的二次函數(shù)形式，然后討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系．

解答： 解：設(shè)t=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），則sin2x=1-t²，
y=-at²+t+a，其對稱軸為t=

1

2a

，
又x∈[0，π]，∴t∈[-1，

2

]，
①當(dāng)

1

2a

≤

2

即a≥

2

4

時，
y=at²+t+a在[-1，

1

2a

]上是增函數(shù)，在[

1

2a

，

2

]上是減函數(shù)；
∴已知函數(shù)在[0，π]上的最大值為x=

1

2a

時，y_max=a+

1

4a

；
②當(dāng)

1

2a

＞

2

即0＜a＜

2

4

時，已知函數(shù)在[-1，

2

]上為增函數(shù)，
∴已知函數(shù)在[0，π]上的最大值為

2

-a；
綜上，當(dāng)0＜a＜

2

4

時，函數(shù)y=sinx-cosx+asin2x，（a＞0）在[0，π]上的最大值為

2

-a；
當(dāng)a≥

2

4

時，函數(shù)y=sinx-cosx+asin2x，（a＞0）在[0，π]上的最大值為a+

1

4a

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的化簡與求值；關(guān)鍵是利用換元將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于二次函數(shù)的最值問題；考查了討論的思想．