【題目】如圖，在三棱臺(tái)中， ， 分別是， 的中點(diǎn)， 平面, 是等邊三角形， , ,.

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)和三角形的中位線可以得到，從而得到平面.在梯形中， （為棱的中點(diǎn)），所以平面，從而可以證明平面平面，也就能得到平面.（2）以所在直線分別為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算平面和平面的法向量的夾角得到二面角的正弦值為.

解析：（1）證明：因?yàn)?/span>, 為棱的中點(diǎn)，所以,所以四邊形為平行四邊形，從而.又平面,平面,所以平面. 因?yàn)?/span>是的中位線,所以,同理可證, 平面.因?yàn)?/span>,所以平面平面. 又平面,所以平面.

（2）以所在直線分別為軸， 軸， 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量,則 即

取，得.

同理，設(shè)平面的一個(gè)法向量，又,

由，得取，得.所以，即二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲、乙兩名同學(xué)準(zhǔn)備參加考試，在正式考試之前進(jìn)行了十次模擬測(cè)試，測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?/span>

甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133

乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146

（1）畫(huà)出甲、乙兩人成績(jī)的莖葉圖，求出甲同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和方差，并根據(jù)莖葉圖，寫(xiě)出甲、乙兩位同學(xué)平均成績(jī)以及兩位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)的大小關(guān)系的結(jié)論；

（2）規(guī)定成績(jī)超過(guò)127為“良好”，現(xiàn)在老師分別從甲、乙兩人成績(jī)中各隨機(jī)選出一個(gè)，求選出成績(jī)“良好”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(注：方差，其中為的平均數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市舉行“中學(xué)生詩(shī)詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．

（Ⅰ）求獲得復(fù)賽資格的人數(shù)；

（Ⅱ）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人?

（Ⅲ）從（Ⅱ）抽取的人中，選出人參加全市座談交流，設(shè)表示得分在區(qū)間中參加全市座談交流的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在[0,1)上單調(diào)遞減，若方程在[0,1)上有實(shí)數(shù)根，則方程在區(qū)間[-1,7]上所有實(shí)根之和是

A. 12 B. 14 C. 6 D. 7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱臺(tái)中， ， 分別是， 的中點(diǎn)， 平面, 是等邊三角形， , ,.

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，橢圓： 的焦距與橢圓： 的短軸長(zhǎng)相等，且與的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等，這兩個(gè)橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)在軸正半軸上的頂點(diǎn)且與直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直， 與的另一個(gè)交點(diǎn)為， 與交于， 兩點(diǎn).

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為，則的所有可能值為（ ）

A. 3 B. 1或3 C. 3或5 D. 1或3或5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1：2：3，其中第2小組的頻數(shù)為15.

（1）求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)；

（2）以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報(bào)考飛行員的同學(xué)中（人數(shù)很多）任選三人，設(shè)表示體重超過(guò)65公斤的學(xué)生人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】吸煙有害健康，遠(yuǎn)離煙草，珍惜生命。據(jù)統(tǒng)計(jì)一小時(shí)內(nèi)吸煙5支誘發(fā)腦血管病的概率為0.02，一小時(shí)內(nèi)吸煙10支誘發(fā)腦血管病的概率為0.16.已知某公司職員在某一小時(shí)內(nèi)吸煙5支未誘發(fā)腦血管病，則他在這一小時(shí)內(nèi)還能繼吸煙5支不誘發(fā)腦血管病的概率為（ ）

A. B. C. D. 不確定

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