Question

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上任意一點(diǎn)P及點(diǎn)A（0，2），則|PA|的最大值為$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosα，sinα），（0≤α＜2π），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合同角的平方關(guān)系和二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求最大值．

解答 解：設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為
（2cosα，sinα），（0≤α＜2π），
即有|PA|=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（sinα-2）^{2}}$
=$\sqrt{4co{s}^{2}α+si{n}^{2}α-4sinα+4}$
=$\sqrt{3co{s}^{2}α-4sinα+5}$=$\sqrt{-3si{n}^{2}α-4sinα+8}$
=$\sqrt{-3（sinα+\frac{2}{3}）^{2}+\frac{28}{3}}$，
當(dāng)sinα=-$\frac{2}{3}$時(shí)，|PA|取得最大值，且為$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換以及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．