Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）對任意x，y∈（0，+∞），都有，且當x＞1時f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x²-9）＞f（x）-3．

Answer 1

解：（Ⅰ）令x=y=1，則f（1）=f（1）-f（1）=0；
（Ⅱ）設0＜x₁＜x₂，則＞1，
∵當x＞1時f（x）＜0，
∴f（）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)；
（Ⅲ）∵f（2）=-1，
∴f（4）=f（）+f（2）=2f（2）=-2，
f（8）=f（）+f（2）=-2+f（2）=-3，
∴f（x²-9）＞f（x）-3?f（x²-9）＞f（x）+f（8）=f（），
∴f（）＞f（x），
∵f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴0＜＜x，
解得3＜x＜9．
∴不等式f（x²-9）＞f（x）-3的解集為：{x|3＜x＜9}．
分析：（Ⅰ）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（Ⅱ）利用函數(shù)單調性的定義，設0＜x₁＜x₂，結合f（）=f（x）-f（y）即可判斷f（x）的單調性；
（Ⅲ）結合（Ⅱ），利用函數(shù)的單調性脫去“f”解關于x的不等式即可．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，考查賦值法，突出考查函數(shù)單調性的應用，考查解不等式的能力，屬于中檔題．