Question

5．設函數(shù)y=f（x）的定義域為D，且對任意a∈D，都有唯一的實數(shù)b滿足f（b）=2f（a）-b，則該函數(shù)可能是（　�。�

• A． f（x）=$\frac{1}{x}$
• B． f（x）=|x|
• C． f（x）=2^x
• D． f（x）=x+$\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知中對任意a∈D，都有唯一的實數(shù)b滿足f（b）=2f（a）-b，逐一分析四個函數(shù)是否滿足條件，可得結論．

解答 解：∵任意a∈D，都有唯一的實數(shù)b滿足f（b）=2f（a）-b，
若f（x）=$\frac{1}{x}$，令a=2，則2f（a）=1，
若f（b）=2f（a）-b，則f（b）+b=1，此時不存在滿足條件的b值，
故A錯誤；
若f（x）=|x|，令a=0，則2f（a）=0，
若f（b）=2f（a）-b，則f（b）+b=0，此時，任意b≤0均滿足條件，
故B錯誤；
若f（x）=2^x，則滿足對任意a∈D，都有唯一的實數(shù)b滿足f（b）=2f（a）-b，
故C正確；
若f（x）=x+$\frac{1}{x}$，令a=1，則2f（a）=4，
若f（b）=2f（a）-b，則f（b）+b=4，則存在兩個b值滿足條件，
故D錯誤，
故選：C

點評 本題考查的知識點是新定義，函數(shù)圖象和性質，函數(shù)的零點與方程根的關系，難度中檔．