Question

3．已知直線l：x-y+a=0（a＜0）和圓C：（x-3）²+（ y-2）²=19相交于兩點(diǎn)A、B，且|AB|=2$\sqrt{17}$．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）由題意，圓心到直線的距離d=$\frac{|3-2+a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{19-17}$=$\sqrt{2}$，結(jié)合a＜0，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明x₁x₂+y₁y₂=0，即可證明：OA⊥OB．

解答 （1）解：由題意，圓心到直線的距離d=$\frac{|3-2+a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{19-17}$=$\sqrt{2}$，
∵a＜0，
∴a=-3；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將y=x-3代入圓方程得：2x²16x+15=0，
∴x₁+x₂=8，x₁x₂=$\frac{15}{2}$，
∵y₁=x₁-3，y₂=x₂-3，
∴y₁y₂=（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=-$\frac{15}{2}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和靈活能力．