Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x-\frac{1}{3}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）在（1，f（1））點處的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1），f（1）的值，求出切線方程即可；
（2）解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x-$\frac{1}{3}$，
知f′（x）=x²-2x-3，
∴f′（1）=-4，所以函數(shù)在x=1處的切線的斜率為-4，
又∵f（1）=-4，
故切線方程為y+4=-4（x-1），即y=-4x；
（2）令f′（x）=0，得x=-1或x=3，
x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表知，f（x）_極大值=f（-1）=$\frac{4}{3}$，f（x）_極小值=f（3）=-$\frac{28}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查切線方程，是一道中檔題．