Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和為S_n，若（n∈N^*），則{a_n}

1. A.
   是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列
2. B.
   是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列
3. C.
   是等差數(shù)列，或是等比數(shù)列
4. D.
   可以既不是等比數(shù)列，也不是等差數(shù)列

Answer 1

D
分析：，a₁=3．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=，所以12a_n=（a_n²+6a_n+9）-（a_n-1+3）²，整理得（a_n-3）²-（a_n-1+3）²=0，解得a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1-6=0，當(dāng)a_n+a_n-1=0時(shí)，，數(shù)列{a_n}是以a₁=3，公比為-1的等比數(shù)列．當(dāng)a_n-a_n-1-6=0時(shí)，a_n-a_n-1=6，數(shù)列{a_n}是以a₁=3，公差為6的等差數(shù)列．
解答：，
∴a₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=，
∴12a_n=（a_n²+6a_n+9）-（a_n-1+3）²，
∴（a_n-3）²-（a_n-1+3）²=0，
∴[（a_n-3）+（a_n-1+3）][（a_n-3）-（a_n-1+3）]=0，
∴a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1-6=0，
當(dāng)a_n+a_n-1=0時(shí)，，數(shù)列{a_n}是以a₁=3，公比為-1的等比數(shù)列．
當(dāng)a_n-a_n-1-6=0時(shí)，a_n-a_n-1=6，數(shù)列{a_n}是以a₁=3，公差為6的等差數(shù)列．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用數(shù)列遞推式，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．