Question

某市為了了解本市高中學生的漢字書寫水平，在全市范圍內隨機抽取了近千名學生參加漢字聽寫考試，將所得數據整理后，繪制出頻率分布直方圖如圖所示，其中樣本數據分組區(qū)間為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（Ⅰ）試估計全市學生參加漢字聽寫考試的平均成績；
（Ⅱ）如果從參加本次考試的同學中隨機選取1名同學，求這名同學考試成績在80分以上（含80分）的概率；
（Ⅲ）如果從參加本次考試的同學中隨機選取3名同學，這3名同學中考試成績在80分以上（含80分）的人數記為X，求X的分布列及數學期望．（注：頻率可以視為相應的概率）

Answer 1

考點：頻率分布直方圖,離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據頻率分布直方圖，計算數據的平均數即可；
（Ⅱ）計算被抽到的同學考試成績在80（分）以上的概率；
（Ⅲ）得出X可能的取值，求出X的分布列與期望E（X）．

解答： 解：（Ⅰ）估計全市學生參加漢字聽寫考試的平均成績?yōu)椋?br />0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.15×95=76.5；    …（2分）
（Ⅱ）設被抽到的這名同學考試成績在80（分）以上為事件A．
P（A）=0.025×10+0.015×10=0.4；
∴被抽到的這名同學考試成績在80（分）以上的概率為0.4； …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，從參加考試的同學中隨機抽取1名同學的成績在80（分）以上的概率為
P=

2

5

；
X可能的取值是0，1，2，3；
∴P（X=0）=

C

0 3

•(

2

5

)0•(

3

5

)3=

27

125

；
P（X=1）=

C

1 3

(

2

5

)1•(

3

5

)2=

54

125

；P（X=2）=

C

2 3

•(

2

5

)2•(

3

5

)1=

36

125

；
P（X=3）=

C

3 3

•(

2

5

)3•(

3

5

)0=

8

125

；
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

…（12分）
所以 E（X）=0×

27

125

+1×

54

125

+2×

36

125

+3×

8

125

=

6

5

； …（13分）
（或X～B（3，

2

5

），
∴E（X）=np=3×

2

5

=

6

5

．

點評：本題考查了頻率布直方圖應用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列問題，是綜合性題目．