Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁，M，P，N分別為A₁C₁，A₁C，BC的中點．
（Ⅰ）證明平面MNP∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求A₁C與平面ABB₁A₁所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面平行的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）運用中位線定理和線面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理．即可得證；
（Ⅱ）取AB中點D，連接CD，A₁D，運用線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得到∠CA₁D為A₁C與平面ABB₁A₁所成的角，再通過解Rt△CA₁D，即可得到所求的角．

解答： （Ⅰ）證明：∵M(jìn)，P分別是A₁C₁，A₁C的中點，∴MP∥CC₁，
又CC₁∥AA₁，∴MP∥AA₁，又MP?平面ABB₁A₁，AA₁?平面ABB₁A₁，
∴MP∥平面ABB₁A₁，
同理PN∥平面ABB₁A₁，MP∩PN=P，
∴平面MNP∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）解：取AB中點D，連接CD，A₁D，
∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴AA₁⊥CD，
又∵AC=BC，D為AB中點，∴CD⊥AB，又AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∴∠CA₁D為A₁C與平面ABB₁A₁所成的角．
在Rt△CA₁D中，∠CDA₁=90°，設(shè)CA=1，可得CD=

2

2

，A₁C=

2

，
sin∠CA₁D=

CD

A1C

=

1

2

，∴∠CA₁D=30°，
即A₁C與平面ABB₁A₁所成的角為30°．

點評：本題考查空間兩平面平行的判定定理和運用，考查空間線面所成角的求法，考查運算能力，屬于中檔題．